quanta Quanta解读：几何与拓扑，看形状的两种视角

quanta Quanta解读：几何与拓扑，看形状的两种视角

关于形状的两种数学视角

约瑟夫·豪利特 /

研究形状的这门学科几何学，是学校数学课程里面的必修课，然而数学当中还存在着跟形状相关的另外一个领域，虽然思考的角度完全不一样，数学家会借助被称作拓扑学的这个领域以及几何学，去探索超乎人们想象的空间。

几何学关乎量化固定形状的性质，那便是长度、角度、体积等。在几何学家看来，物体犹如宝石般坚硬，能够移动却不可扭曲。另一方面，拓扑学家能够像对待粘土那般拉伸与压缩他们所研究的形状。他们无法分辨球体与立方体之间的差异，原因在于其中一个能够轻易地被塑造为另一个，且不会破裂或撕裂。

拓扑学家所关注的，是孔，即一个形状究竟有多少个孔，以及形状是以怎样的方式缠绕在自身周围。甜甜圈存在一个孔，咖啡杯同样有一个孔，这个孔能够防止它们收缩到某一个点，所以甜甜圈和咖啡杯在拓扑学范畴内是相同的。然而，它们与没有任何孔洞的球体不同，也和没有手柄的咖啡杯不一样。与之相类似，两个纽结，是在高维空间里扭曲形状之时产生的，如果其中的一个能够通过缠绕或者解开从而变成另一个纽结，那么这两个纽结在拓扑意义上就是相同的。

倘若仅能借由切割或者粘合达成这一要点，那么它们于拓扑层面是不一样的。形形色色的曲面，以及它们那些高维的亲属（被称作流形），均具备饶有趣味的几何与拓扑特性，数学家们期望搞明白这些特性。

为了去知晓我们周边的世界，从那数据集的形态跨越直至宇宙的形态，数学家持续不断地去测验他们的几何以及拓扑工具包的界限。

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拓扑学领域的专家常常会试着彻底躲开几何学，比如说，莱昂哈德·欧拉（Euler，1707 - 1783）在1736年证实了，要是不两次经过同一座桥，那就不可能穿行完整个柯尼斯堡市。

这个问题，实际上是与路径的拓扑学有关，并非其几何学，他意识到了这点，这被视作该领域最早的里程碑式发现。

自那时起，诸多几何方面的问题，被数学家们借助拓扑方法予以解决。二零二零年有一项证明是这样的，此证明确切认定每条光滑闭合曲线里面都含有一个矩形。到了次年，《量子杂志》发布了复杂拓扑研究方法的进展状况与之在轨道物体几何问题当中的运用情况。去年，布朗大学的理查德·施瓦茨引入了拓扑技术查找几何意义上“最优”的形状，像可以用以制作莫比乌斯带的最厚的矩形。在这个过程里，他证实了一个能够追溯到二十世纪七十年代的猜想。

有时，会出现相反情形，理解形状的几何形状，能够为其拓扑结构，提供重要见解。比如，人们早就清楚，形状的局部几何特性，像所谓的曲率，会对其拓扑外观形成限制。假定你对给定二维曲面的认知，仅局限于它在每个点都是正曲率。那么，它要么是球体的表面，要么是其他更复杂的形状。几何曲率数据，足以让你知晓这一点。

今年，量子杂志撰写了一篇文章，该文章是关于曲率在确定拓扑结构里的作用的。请参阅小乐数学科普：奇怪的弯曲形状打破了50年的几何猜想（米尔诺猜想）——译自。

经过实际验证，部分区域的几何测量，居然能够给整个宇宙的拓扑结构，提供相关线索。

许多几何学存在着别的应用，然而拓扑学而对此毫无办法。当所探讨的物体必定得是刚性之时，就像当你把形状尽可能紧凑地摆放时，可参考小乐数学科普：为何这种形状堆积起来这般糟糕？——译自量子杂志 又或者当距离起着关键作用时，比如当你尝试在正方形内部构建不同尺寸的三角形时，拓扑学便无法发挥作用了。但在过去的那个世纪里，拓扑学这个相对较新的领域的确助力扩展了其更为古老的同类的视野。

网络上的资料

皇家科学院所属的瑞典，发表了一篇总结，此总结十分精彩，它介绍了在2016年荣获诺贝尔物理学奖的获得者，是怎样借助拓扑技术，于相变方面获取突破的。

有一个视频，它以一种直观的方式，对“内接矩形”问题基于拓扑的证明作出了解释。

在《科学新闻》近期所刊登的一篇文章当中，阐述了这样的情况，即我们所处宇宙的拓扑结构至今依旧没有被确定下来，并且还提到了吃豆人有可能会向我们展示的、与宇宙形状相关的信息。

参考资料