quanta 从肥皂膜到菲尔兹奖：普拉托极小曲面之谜，数学家如何证明百年猜想？

quanta 从肥皂膜到菲尔兹奖：普拉托极小曲面之谜，数学家如何证明百年猜想？

19世纪中期，研究金属丝环浸入肥皂溶液后薄膜情况的比利时物理学家约瑟夫·普拉托，自幼就开始设计并进行科学实验。当他把金属丝弯成圆环浸入肥皂溶液时，肥皂膜会覆于圆环上形成扁平圆盘。而当他把两个平行金属丝环浸入溶液时，肥皂膜在两环间延展，形成一个数学家称为悬链旋转面的沙漏状，悬链旋转面即为悬链线绕轴线旋转生成的极小曲面 。存在着各种各样各不相同的薄膜，它们是由不同的金属丝框架所产生的，其中有些薄膜的形状如同鞍形或者螺旋斜坡，而有些薄膜的形状复杂到了难以对其进行描述的程度。

普拉托觉得，那些肥皂膜理应一直占掉能够小到何种地步的面积。数学家把它们称作面积极小的那种曲面（area- ）。

近一个世纪的时长，数学家们才证实他是正确的。1930年代初期，杰西·道格拉斯予以证明，蒂博尔·拉多也独立进行了证实，他们分别证明出现的结果为，“普拉托问题”的答案是肯定的表明，对于三维空间里的任何闭合曲线，也就是你的线框而言，总是能够寻找到一个与其边界相同的二维极小曲面，即你的肥皂膜。后来，这一证明给道格拉斯带来了首届菲尔兹奖。

自那之后，数学家们持续拓展普拉托问题，期望能更深入地知晓极小曲面。这些曲面于数学以及科学领域到处都能见到，在几何学以及拓扑学关键猜想的证明当中，在细胞与黑洞的研究里面，甚至在生物分子的设计过程中。“它们是极为优美的研究对象，”斯坦福大学的奥蒂斯·乔多什（Otis）讲道，“极其自然、吸引人、令人着迷。”。

数学领域的专家现今清楚晓得，普拉托所做出的预测于七维范围以内皆是全然无误的。然而在维度更高的情形下，状况便呈现出差异：所形成的极小曲面或许并非始终如同圆盘或者沙漏那般平滑且平整。与之不同的是，它们有可能在某些位置出现折叠、收缩或者相交的状况，从而形成所谓的奇点（）。当极小曲面存在奇点之际，对其进行理解以及处理就会变得更为艰难。

因此，数学家们期望知晓这种非光滑极小曲面的普遍程度，以及它们或许具备哪些性质。要是奇点在给定维度中颇为少见，仅在人为设定的条件下才会出现，那么只要你略微调整一下线框，它们便会消失。你会获得一个光滑的极小曲面，更易于对其展开研究，进而有机会深入探究该维度中此类曲面的性质。

肥皂膜在金属丝框架内拉伸，形成面积极小化的曲面。

图源：卫斯理大学

1985年，数学家们证实，于八维空间里，奇点的确能够被消除，然而在更高维度中，乔多什称“一切皆走入混乱状态”，奇点的剖析变得愈发艰难，近40年来，此问题始终未获取关键进展。

这一障碍，最终被打破了。2023年的时候，乔多什（）跟莱斯大学的克里斯托斯·曼图利迪斯（ ）以及华威大学的费利克斯·舒尔茨（Felix ）展开合作，证实了在九维和十维空间里，光滑的极小化曲面是常态这一情况。在今年早些时候，这个团队与康奈尔大学的王志涵（ Wang ）合作，证明了在十一维空间中也是这样的 。

这项研究，它称作是在理解更高维度里，有可能会出现的那种奇异极小曲面方面，获取到了重大进展，数学家们当下能够借助这一成果，去解决好多其他，一直被局限在八维或者更低维度的数学问题，这致使这些定理，变得更具强大效力 。

一段奇异历史

于1962年的时候，数学家温德尔·弗莱明（ ）证实了，所有的二维极小曲面，也就是普拉托有可能去研究的任何肥皂膜，都必定是光滑的，存在奇点的二维极小曲面是根本不存在的 。

有一些二维曲面，它们存在于我们所熟悉的三维空间里。然而，当我们进入到更高维度的时候，会出现什么情况呢？到那个时候，问题就变得更难以进行可视化呈现了。比如说，在四维空间当中，我们线框的对应事物是一个二维曲面，并且普拉托问题要求我们去找出一个三维形状，利用尽可能小的体积来填充这个曲面。那么，这个形状会呈现出怎样的样子呢？斯坦福大学的布莱恩·怀特表示据我们所了解，“它有可能非常糟糕——类似分形那样，又或者极其不规则。”。

证明呈现的是这样一种情况：（左），以及 Felix （中），还有 Otis ，他们证实了，于九维以及十维空间里，大部分的极小化曲面皆是光滑的 。

图源： Law | | Fels

在弗莱明证明之后的那些年份当中，数学家们展开了证明，表明这种情形于四维空间里绝不会出现，于五维空间里也绝不会出现，于六维空间里同样绝不会出现，在七维空间里亦是永远不会发生。极小曲面向来都是光滑的。然而在1968年的时候，数学家吉姆·西蒙斯在八维空间之内构造出了一个七维形状，此形状仅仅在一个点的位置存在奇点。紧接着的下一年，数学家们证实了这个形状属于一个极小曲面，借此确定了八维空间里的极小曲面实际上是有可能奇异的。

如是问题遂转变为：这般奇点究有多糟？其为罕见抑或常见？能否借由略微调适线框之形状，以恰切方式消弭之？“徜欲明晰一曲面之特性，奇点会令分析益发艰难，”怀特称。然若奇点出现频率颇低，且能轻易对其予以调适以获光滑曲面，那么诸事便会简易许多——譬若，可运用微积分之工具。

1985年，罗伯特·哈特（Hardt）证明了八维空间中的极小曲面具有一种优良的性质，莱昂·西蒙（Leon Simon）也证明了这一点，数学家将这种性质称之为一般正则性（ ），然而，没有人能够找到如何把他们的方法应用于更高维度，进而证明这种性质是否存在 。

这种情况持续了几十年——直到、和介入。

进入陌生领域

三位数学家，追求探索未知的更高维度区域，期望明晰其中极小曲面的实质，如同生物学家尝试知晓新发现岛屿上的动植物群体那般。所以，他们着手探究是否能够消除这些奇点。

那种被称作悬链旋转面的面，处在左边的那种，还有Costa曲面，也就是科斯塔曲面，处在右边的那种，它们都是面积呈现极小状态的曲面。

其中，Costa曲面，是由巴西数学家Costa科斯塔在1982年发现的，它是一个完备极小嵌入曲面，它具有亏格为1的特征，它还有三个孔洞，它是有限拓扑曲面，它平均曲率为零，它在数学和计算机图形学中有着广泛应用。

图源：

首先，他们在八维空间里，重新证明了几十年前哈特和西蒙得出的结论，这次采用了不一样的方法并期望检验此方法有效性，他们先假设了与要证明的相反情形，即当对定义曲面的线框做微小扰动时，奇点（单个点）一直存在，每次扰动都会得到一个新的极小曲面，而该曲面依旧有奇点，之后可以把所有这些极小曲面堆叠起来，让奇点所在的点形成一条直线 。

可是呀，这绝对是没有可能的。在1970年的时候呢，有一位名叫赫伯特·费德勒的数学家发现了这样一个情况，那就是在n维空间里，极小化曲面上的任何奇点，它的维度最多也就是n - 8 。这就表明了在八维空间当中呀，任何奇点都必定是零维的，也就是一个孤立的点。直线这种情况是不被允许存在的。乔多什、曼图利迪斯还有舒尔茨他们把费德勒的证明给推广到了八维空间里的曲面堆叠上。然而呢，在他们所做的证明过程当中，他们竟然构造出了一个包含着这样一条直线的曲面堆叠呀。这个矛盾显示出，他们最开始的假设是不正确的，这意味着，最终你还是能够借助扰动线框把奇点消除掉。

王志涵同他的同事证实了，在11维空间里，极小化曲面上要是产生了奇点，那么能够借助调整让其不见。 ，。

图源： Feng

目前，他们认为能够开始来处理九维方面的问题了。其证明方式跟之前是一样的：他们设定最糟糕的情形，开展一连串的扰动，最终获取到一个无限堆叠起来的极小曲面，这些曲面皆是存在奇点的。接着，他们引入了一种称作分离函数（ ）的全新工具，用以度量这些奇点相互之间的距离。要是任何扰动都没办法对奇点产生影响，那么这个分离函数理应一直维持在很小的状态。然而三人组证实，有时候这个函数的值会变得很大：某些扰动能够让奇点消失不见。

数学家们证实了九维空间里极小曲面的通常正则性 ，他们可以把同样的证明运用到十维空间 ，然而在十一维空间中 ，奇点的处置变得愈发棘手 ，他们的办法对一种特定的三维奇点不起作用了 ，“奇点的种类繁多 ，”曼图利迪斯讲 ，“任何成功的证明都得足够宽泛 ，以便能应对所有这些奇点 。”。

团队作出决定，要和那个曾对这类奇点展开过深入研究的王志涵进行合作，他们一起对分离函数予以改进，让其能够适用于这种情形，他们已然解决了11维空间里的这个问题 。

“他们将我们的理解拓展了几个维度，这真是太棒了，”怀特说。

但或许他们得寻觅不一样的法子去应对更高维度的难题。“我们所需的是一种全新的成分，”舒尔茨讲道。

在这同一时间，数学家们心里期待着，这项全新成果能够给予他们助力，使得他们在数学以及物理的别的问题上面，获取到一定的进展。几何学里诸多猜想的证明，还有拓扑学中众多猜想的证明，像关于有着特定曲率性质的形状的存在状况以及行为表现这样的证明，都依靠着极小曲面的光滑特性。所以呢，这些猜想在此之前仅仅被证明到了八维的程度。而现在，其中好多猜想能够被扩展到九维，进而扩展到十维，甚至还能扩展到十一维。

在广义相对论里存在的一个相当关键的论断，也就是所谓的正质量定理（mass），情况同样是这样的。这个定理大略地表明，宇宙的总体能量肯定应该是正的。在1970年代的时候，理查德·舍恩泽恩（ ）以及丘成桐（Shing-Tung Yau）借助极小曲面证实了七维以及低于七维维度的正质量定理。在2017年，他们把结果扩展到了所有的维度。现如今，普拉托问题的最新的进展为去验证九维、十维和十一维的正质量定理给出了一种新的办法。“他们所供应的是较直观化的推广办法 ，”怀特讲道 ，“而不同种类的证明会致使不一样的见解 。”。

此研究说不定会引发好多出人意料的结果。普拉托问题被运用到了研究好些别的问题上，其中涵盖冰川融化机制 。数学家们期望该团队的新办法能助力他们更透彻地弄明白这些关联 。

就是普拉托自身那个问题说到这儿当下存在着两种前行的方向，一种是数学家们持续去证实更要高维度里面的普遍规律性，另一种是他们会发觉在11维之上奇点就难以再被清除掉。舒尔茨讲那也会“算作是一个奇迹”，这又是一个有待解开谜底的谜题“。不论最终是哪种结果，都会让人感到兴奋。

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